Possiamo vedere la direzione di un vettore su un grafico. Quindi, perché utilizziamo i vettori di unità?

Grazie per aver sollecitato la mia risposta personale alla tua domanda sull’utilità dei “vettori di unità”. Mi hai offerto l’opportunità di spiegare alcune cose su questi oggetti ben noti che non sono compresi in modo uniforme e talvolta non sono ben insegnati. Imparerai alcune importanti basi della fisica nel processo.

All’inizio questa risposta può sembrare molto da leggere, ma è costruita per essere completamente assorbita senza fatica. Il motivo è perché la lunghezza della risposta non sorge perché la risposta è difficile, ma a causa della mia decisione di spiegarla in modo completo e conclusivo, pur facendo solo supposizioni minime su ciò che hai già capito. Non assumerò molto su ciò che potresti già sapere e che mi richiede di rivedere tutte le questioni di fondo importanti mentre procedo. Se sai già più di quanto suppongo, la recensione sarà comunque preziosa per stabilire la mia visione personale dell’argomento e ti verrà introdotta la particolare terminologia che uso personalmente nel discutere questo argomento. Non è un argomento particolarmente difficile, ma in questo settore anche un po ‘di confusione può interferire seriamente con lo sviluppo di una chiara comprensione e abilità di base.

Nel contesto della tua domanda, stiamo parlando rigorosamente di vettori “fisici”. In matematica in generale, e in particolare l’algebra lineare, il termine “vettore” comprende ampiamente qualsiasi raccolta di oggetti matematici che hanno, tra le altre cose, le proprietà che (1) la somma o la differenza di due di essi è anche un “vettore” che può anche essere sommato con altri vettori e (2) qualsiasi numero reale, intero, reale e in alcuni casi un numero complesso, moltiplicando un vettore si ottiene semplicemente un altro vettore.

La fisica si occupa di fenomeni osservabili e misurabili e “vettori fisici” sono quelli definiti semplicemente come oggetti matematici dotati sia di una grandezza che di una direzione . Quando un vettore viene rappresentato graficamente come una freccia, “magnitudo” corrisponde approssimativamente alla “lunghezza” della freccia / vettore e i punti della freccia in qualche “direzione” indicata. Per riflettere la realtà fisica, la grandezza deve essere qualcosa che può, in in qualche modo, effettivamente misurato. La misurazione implica necessariamente la necessità di alcune “scale” o serie di “unità”. La realtà fisica di ciò che viene misurato non cambia se misuriamo in metri contro piedi, ma è impossibile immaginare come trasmettere in modo definitivo l’entità di una quantità reale senza usare un’unità di misura ben definita.

Ciò che costituisce una “direzione” è più difficile da descrivere, ma assolutamente cruciale per questa discussione. Non esiste una direzione assoluta e ben definita isolatamente. La direzione non ha una grandezza, ma dobbiamo essere in grado di specificare gli angoli tra le direzioni e tra una direzione vettoriale e linee distinte nel diagramma del problema.

In generale, è spesso necessario disporre di alcune caratteristiche fisiche o di una serie di funzioni che fungano da quella che viene solitamente definita una “base” per le indicazioni stradali. Quando si disegna un diagramma di un problema, è sempre possibile definire “su-giù” e “sinistra-destra” come linee direzionali incorporate nel diagramma e quindi è possibile indicare le direzioni indicate da vettori fisici in termini di angoli da cui una linea si estende la “freccia” di un vettore crea con quelle linee di base. Le linee di base scelte danno significato a un sistema di coordinate che facilita la specifica delle direzioni dei vari vettori nel problema.

Hai già una certa esposizione ai cosiddetti vettori di unità. Sto affermando che i vettori citati in questa discussione sono “fisici” e che la grandezza di un vettore riflette una misura possibile o effettiva usando alcune unità di misura. Quindi se un “vettore unitario” è davvero un vettore, qual è la sua grandezza e possiamo misurarlo?

La mia risposta potrebbe essere una rivelazione per te – sicuramente susciterà proteste da parte di alcuni lettori: è:

Un cosiddetto “vettore unitario” non è affatto un vettore fisico. In realtà è una direzione pura.

È vero che matematicamente possiamo creare uno “spazio vettoriale” astratto di oggetti, ciascuno dei quali corrisponde a una direzione relativa ad alcune basi o basi specificate. Ciò non trasforma questi oggetti in vettori fisici . Richiede anche un po ‘di raffinatezza matematica per specificare correttamente uno spazio vettoriale simile e non ti distrarrò con quello. Il punto importante è che le direzioni non sono realmente manifestazioni di un fenomeno misurabile di per sé. Non si misura una direzione, si osserva. Le indicazioni non hanno grandezza da misurare. Sono ispirati dalla nostra comprensione della geometria e usiamo la geometria e la trigonometria nella nostra analisi dei problemi di fisica, le Direzioni non sono cose che ruotano intorno. Un vettore fisico è, tuttavia, una descrizione matematica di una cosa reale o realizzabile. Un vettore fisico ha una direzione, ma è possibile modificare le linee di riferimento da cui vengono determinate le direzioni come angoli da quelle linee, senza in realtà cambiare la “direzione” in cui punta il vettore fisico. Se si modifica la sua magnitudine netta, tuttavia cambiando una realtà fisica essenziale del problema che stai modellando e finisci con un vettore diverso da quello corretto.

Ciò risulta perfettamente coerente con la definizione di vettore fisico come manifestazione di un fenomeno con una grandezza accoppiata a una direzione. Tuttavia, in fisica e ingegneria, questo NON è coerente con la visualizzazione di “vettori di unità” come se fossero effettivamente vettori stessi. In matematica astratta, questo può essere violato, ma non in fisica e ingegneria. (PS Questo non impedisce l’uso simultaneo di vettori più generali per costruire o descrivere un modello matematico per calcolare gli aspetti di un problema che coinvolge vettori fisici.)

Per ripetere: i vettori fisici sono descrizioni di fenomeni reali, ma le direzioni sono costrutti geometrici di cui abbiamo bisogno perché abbiamo bisogno di un modo per distinguere un vettore fisico da un altro in virtù del loro “puntamento” in direzioni diverse. Queste direzioni sono tutte relative alle linee del “quadro di riferimento” che abbiamo il potere totale di disegnare sulla scena in qualsiasi orientamento ci piaccia. Possiamo cambiare queste linee di riferimento a piacimento e avere ancora una descrizione valida degli stessi vettori fisici anche se con angoli diversi usati per esprimere le loro direzioni.

NOTA: dato che qui siamo molto precisi, fammi subito una pausa per sottolineare qualcosa di molto importante che alla fine dovresti sapere. A volte, la soluzione a un particolare problema di fisica richiede solo di conoscere la differenza nelle direzioni tra specifici vettori fisici. In tal caso, non è necessario disporre di un riquadro di riferimento in base al quale si specificano le direzioni verso cui puntano le frecce. Per alcuni problemi tutto ciò che devi sapere è l’angolo tra le loro direzioni. Si potrebbe dire, ad esempio, che due vettori stanno puntando in direzioni che sono, diciamo, distanti 30 gradi. La differenza nelle loro direzioni è di 30 gradi, indipendentemente dalle direzioni effettive relative a un quadro di riferimento. Questa differenza angolare non cambia se si modificano le linee di riferimento della direzione generale. Questo è formalmente parte di uno schema noto come rappresentazione senza coordinate e TUTTE le leggi fondamentali della fisica DEVONO essere rappresentabili in forma senza coordinate o non sono leggi valide della fisica.

Ora, usando un po ‘di matematica elementare, passiamo in rassegna come ti viene normalmente insegnato a costruire i cosiddetti vettori di unità. Per chiarezza immediata, scriverò i simboli dei vettori fisici di per sé usando le lettere maiuscole, ma scriverò le loro magnitudini (m) e le direzioni (d) in minuscolo e userò i numeri per distinguere m e d di vettori diversi distinti anche da corrispondenti numeri se necessario.

Vettore fisico V = md così algebricamente V / m = m / md = d

Quindi, dividere un vettore fisico per la sua grandezza eliminerà del tutto la sua grandezza – come mostrato sul lato destro. Ciò che resta è solo una direzione. Si noti, infatti, che poiché “m” era un fattore moltiplicativo e ha unità, dividerlo per se stesso distrugge anche le unità! NESSUN’unità è lasciata indietro. La “d” rimasta è senza grandezza e quindi, in piedi da sola, non è un vettore fisico. Se si sostiene che m / m = 1 e 1 è un numero valido, farò notare che “1 volte d = d” quando “1” è un numero senza unità e non una quantità fisica. Mettere un “1” senza unità davanti alla “d” non ha senso. La direzione “oggetto” d non è di per sé un vettore fisico – ma spesso può essere trattata come un vettore che non è semplicemente “fisico”. Le direzioni sono astrazioni utili. I vettori fisici rappresentano fenomeni reali.

Nota quanto segue:

Durante la creazione di diagrammi, non c’è nulla di sacro su quali simboli o lettere sono usati per indicare una direzione o un angolo particolari. Ci sono alcune convenzioni comuni, ma variano enormemente nella letteratura. Un simbolo preferito per i vettori di unità è la lettera “e” – di solito in grassetto – con un indice per distinguerla dagli altri vettori di unità. Le e sono spesso usate per enumerare le direzioni di base – le direzioni che stabiliscono un quadro di riferimento come indicato sopra. Tuttavia, i simboli più famosi usati per le cornici grafiche tridimensionali sono le lettere i (per la direzione x), j (per y) e k (per z) – e sono spesso in grassetto e un “cappello” o una piccola freccia è spesso posto sopra di loro. MA il punto è non essere intimiditi dai simboli preferiti di nessuno e invece essere audaci nell’identificare nel diagramma qualsiasi direzione utile. Disegnalo come una piccola freccia e mettici sopra un’etichetta.

Tutto ciò di cui abbiamo bisogno prima di creare esempi di quanto siano intrinsecamente utili i cosiddetti vettori di unità è quello di rivedere una particolare operazione vettoriale chiamata “punto prodotto”.

In termini di algebra vettoriale, quasi ogni spazio vettoriale a cui siamo interessati è suscettibile di consentire l’uso di un tipo di moltiplicazione vettoriale noto come “prodotto interno” che, in algebra vettoriale, è spesso chiamato “prodotto punto”. sto ancora rivedendo le cose, ma voglio essere sicuro che noti che lo sto facendo per essere certo di vedere cose che sono familiari, ma descritte usando termini e concetti che ho sottolineato sulla base delle mie abitudini ed esperienze.

Ora risulta che mentre le direzioni non sono di per sé vettori fisici, ho ammesso sopra che possono essere trattate come membri di uno spazio vettoriale astratto – anche se la tua comprensione di ciò che i mezzi non sono ben informati. Non vorrei soffermarmi su questo, tranne per il fatto che risulta essere significativo.

Il significato è che il punto prodotto di due vettori fisici fa davvero qualcosa di speciale solo con le direzioni di quei vettori mentre le loro magnitudini si moltiplicano come numeri ordinari.

Un prodotto punto tra vettori fisici produce un numero reale. Un prodotto punto tra le direzioni da solo produce un numero reale – e quel numero è “speciale” perché risulta essere il coseno dell’angolo tra le direzioni.

Un punto B è definito come grandezza di A volte magnitudine di B volte il coseno dell’angolo tra la direzione di A e la direzione di B.

Scriverò la parola punto per chiarezza assoluta, ma è spesso scritta come un periodo grasso sollevato leggermente sopra la linea:

Sia A = a d1 e B = b d2, quindi

A punto B = (ab) (d1 punto d2) = (ab) Cos [angolo tra d1 e d2]

Così! Che dire del punto prodotto di un vettore fisico e una direzione da solo (?):

Sia A = a d1 e sia d2 una direzione probabilmente diversa da d1.

Poi:

A punto d2 = a (d1 punto d2)

= a volte il coseno dell’angolo tra d1 e d2

In questa situazione, si dice che un punto d2 è la proiezione di A sulla linea direzionale definita da d2. Si dice anche che una tale proiezione sia il componente di A nella direzione d2.

Nota: dicevo ai miei studenti di memorizzare la frase:

“Le proiezioni sono solo coseni”.

Corollario: dato qualsiasi vettore fisico A = annuncio e (fino a) un quadro di riferimento cartesiano tridimensionale definito dalle direzioni i, j, k, il vettore A equivale alla seguente somma di vettori componenti:

A = (A punto i) i + (A punto j) j + (A punto k) k

= a (d punto i) i + a (d punto j) j + a (d punto k) k

Questo funziona in parte perché le direzioni i, jk sono ogni 90 gradi rispetto agli altri, ma salterò la spiegazione dettagliata di questo qui.

Siamo finalmente in grado di dimostrare l’essenza del perché l’uso dei cosiddetti vettori di unità – più propriamente “direzioni” – è decisamente utile.

PS Non sono riuscito a trovare rapidamente questa risposta e mi scuso per non aver avuto il tempo necessario per creare e inserire dei miei diagrammi personalizzati. Vi esorto a disegnare effettivamente il diagramma discusso di seguito mentre leggete.

Supponiamo di avere un bel diagramma per un problema che mostra un blocco seduto su una rampa sollevata ad un’estremità. Puoi disegnare una freccia dal tuo blocco di massa “m” verticalmente verso il basso per mostrare un vettore fisico per la forza di gravità su di esso. Poiché la tua rampa non è a livello del terreno, ti rendi conto che l’attrazione della gravità può far sì che il blocco venga in qualche modo tirato giù dalla rampa inclinata. Ti rendi conto che devi calcolare il vettore componente della forza gravitazionale che punta nella stessa direzione di “lungo la linea della rampa”.

Quindi eccoci … si disegna una piccola freccia che punta verso il basso la rampa inclinata. Metti un’etichetta – dì “dslide” per la direzione della diapositiva. Questa è ovviamente una direzione o, come è già stato chiamato, un “vettore unitario” Tutto ciò di cui hai bisogno è questa direzione. Non è necessario creare un vettore … la direzione è tutto ciò che conta.

Dalla recensione sopra e dai tuoi corsi sai che il tuo compito immediato è quello di calcolare quella parte (cioè componente) della forza gravitazionale (m volte g) che punta nella direzione “scivolata”. Questa è una proiezione e “le proiezioni sono solo coseni”. Più precisamente è necessario trovare l’angolo tra dslide e la direzione verticale verso il basso. Se l’angolo di inclinazione della rampa è di θ gradi, alcune trigonometrie e geometrie di base ti convinceranno che la differenza tra la direzione della freccia in giù e la direzione della “slitta” è semplicemente di 90-θ gradi.

La proiezione lungo la rampa è (mg) Cos [90-θ]

Controlli di realtà:

se θ è zero la rampa è piatta sul terreno e Cos [90] = 0

se θ è 90 gradi la rampa è orientata verticalmente e θ = 90, Cos [90] = 1

Non c’è niente di magico o esoterico in corso qui. Il semplice punto è che la tua comprensione delle “indicazioni” e dei prodotti punto è stata sufficiente per calcolare facilmente ciò di cui avevi bisogno. Il prodotto punto funziona tra vettori di un tipo o di un altro e in questo caso alla fine lo hai applicato tra le due direzioni: una parte del vettore gravitazionale e l’altra semplicemente una direzione identificata da sola.

Questo esempio è così tipico, dovrebbe essere sufficiente per farti andare … nella giusta direzione .

Per concludere affrontando il modo preciso in cui è stata posta la tua domanda, hai bisogno dei cosiddetti vettori di unità – quelli che identifico come indicazioni – perché possono prendere parte all’uso di prodotti a punti. È necessario comprendere appieno il prodotto punto e usarlo nella matematica formale utilizzata in molti molti problemi. Il prodotto punto funziona su direzioni, ma le direzioni non sono linee: sono oggetti matematici / geometrici che devi capire e usare con facilità. E inoltre … non hai bisogno di un righello per disegnarli.

Entrambi sono abbastanza indipendenti. Sì, otteniamo la direzione su un grafico. E se volessimo modificare la dimensione del vettore? Ad esempio, il vettore è 3i + 4j. Se voglio aumentare (diciamo il doppio) la dimensione complessiva del vettore, devo moltiplicare entrambi i valori per quel fattore (nel nostro caso due). Quindi il vettore modificato è 6i + 8j. Se lo divido in un vettore di grandezza e unità, ottengo 5 * (0,6i + 0,8j). Qui, ho bisogno di moltiplicare solo un valore, cioè 5 per ridimensionare il vettore. Dopo il ridimensionamento, il nuovo vettore apparirà come 10 * (0,6i + 0,8j).

Un’altra utile caratteristica del vettore unità è che può ridurre la dimensione di un numero in un programma per computer. I numeri interi occupano meno spazio rispetto a un valore decimale (chiamato float in linguaggi informatici). Immagina di avere un milione o più vettori in un file. Inserisco solo un valore float, ovvero l’intensità e la direzione dell’unità, converto in un valore intero. La memoria che uso con questi 2 sarà inferiore a quella con entrambi i valori float

Una risposta semplicistica sarà che, in molti problemi riguardanti i vettori (sia in matematica che in fisica), il vettore unitario, piuttosto che il vettore completo, è sufficiente e più facile da gestire e manipolare. In secondo luogo, mentre un vettore ha due componenti, magnitudine e direzione, il vettore unità ha una magnitudine incorporata di unità (1) e le direzioni sono più importanti e utili in esse. Spero che questo risponda alla tua domanda

È utile astrarre cose, come la direzione, lontano da entità più grandi, come i vettori.

In questo caso, una buona ragione potrebbe essere che è più facile provare cose su alcuni vettori di unità, una volta che sappiamo che si generalizzerà ad uno spazio vettoriale, piuttosto che provare certe cose su ogni vettore e fare un lavoro scritto extra – anche se è routine – a causa del trattamento di vettori di lunghezze arbitrarie, non necessariamente di lunghezza 1.

Oppure, forse il tuo corso ha solo bisogno di un meccanismo algebrico per convertire tra scalari e vettori. Di solito gli oggetti sono prerequisiti utili, ma a volte si tratta solo di abilità casuali e di pratica. Le cose che fanno capolino su un grafico non sono matematica. È un po ‘come chiedere perché i vertici di un quadrato sono importanti.

Sì. Ora, come si fa a togliere la coppia (momento di forza)?

In presenza di vettori di unità, è così semplice, altrimenti come riuscirai a dedurne la direzione?

[matematica] \ tau = \ vec {r} X \ vec {F} [/ math]