Che cos’è un immanant di una matrice?

L’immanente (o l’immanente; ho visto entrambi gli spelling usati) di una matrice è una certa generalizzazione delle nozioni di determinante e permanente.

Data una matrice [matematica] n \ volte n [/ matematica] A [matematica] A [/ matematica], il determinante è un numero importante e noto associato a [matematica] A [/ matematica] come segue:

[matematica] \ displaystyle \ det (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_n} \ mbox {sgn} (\ sigma) \ prod_ {i = 1} ^ n A_ {i, \ sigma (i)} [/ matematica].

In parole, stiamo esaminando tutti i modi per scegliere un elemento da ogni riga e ogni colonna, moltiplicando quegli elementi insieme e sommando tutti i risultati ma con un certo peso: il segno della permutazione associata a come abbiamo scelto gli elementi .

Al contrario, il permanente viene calcolato allo stesso modo tranne che senza pesi, vale a dire tutti i pesi sono solo [matematica] 1 [/ matematica]:

[matematica] \ displaystyle \ mbox {per} (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_n} \ prod_ {i = 1} ^ n A_ {i, \ sigma (i)} [/ math].

Nel 1934, Littlewood e Richardson suggerirono di usare altri personaggi irriducibili di [matematica] S_n [/ matematica] come pesi, definendo ciò che chiamavano l’ immanente .

(I caratteri irriducibili di un gruppo sono ottenuti prendendo le tracce delle sue rappresentazioni irriducibili. Il gruppo simmetrico [matematica] S_n [/ matematica] ha due rappresentazioni unidimensionali, vale a dire quella banale e quella alternata.)

Quindi, se [matematica] \ chi: S_n \ a \ mathbb {Z} [/ math] è un carattere irriducibile, l’immanente ad esso associato è

[matematica] \ displaystyle I_ \ chi (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_n} \ chi (\ sigma) \ prod_ {i = 1} ^ n A_ {i, \ sigma (i)} [/ math] .

Questo diventa permanente se [matematica] \ chi [/ matematica] è il personaggio banale e il determinante se [matematica] \ chi [/ matematica] è il carattere alternato.

(Nota: i caratteri irriducibili di un gruppo finito sono generalmente valutati in modo complesso, ma il gruppo simmetrico [matematica] S_n [/ matematica] ha una caratteristica speciale che rende tutti i caratteri irriducibili con valori interi).

Mentre il determinante ha un significato e un’utilità profondi in algebra lineare e combinatoria e anche il permanente è importante (specialmente in combinatoria), l’immanente è una funzione più esotica. Littlewood e Richardson lo hanno usato per studiare le rappresentazioni di gruppi simmetrici e non sono a conoscenza di altri usi significativi di esso.

Mi dispiace, non ne ho mai sentito parlare prima. Forse quello che vuoi dire è questo che appare in Wolfram?

Immanant – di Wolfram MathWorld