Come risolvere [matematica] \ displaystyle \ int_0 ^ 4 \ displaystyle \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {3r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {2 \ sqrt {2 + r ^ 3 \ sin ^ 3 \ theta}} \, d \ theta dr [/ math]

Modificando l’ordine di integrazione, dove i limiti non cambiano (perché sono costanti e non in funzione di [matematica] r [/ matematica] o [matematica] \ theta [/ matematica]), l’integrale dato diventa

[matematica] \ displaystyle I = \ int_0 ^ 4 \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {3r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {2 \ sqrt {2 + r ^ 3 \ sin ^ 3 \ theta} } d \ theta dr} \\ [/ math]

[matematica] \ displaystyle = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ 4 {\ frac {3r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {2 \ sqrt {2 + r ^ 3 \ sin ^ 3 \ theta}} dr d \ theta} \\ [/ math]

Lascia che [matematica] \ sqrt {2 + r ^ 3 \ sin ^ 3 \ theta} = y [/ math], in modo che

[matematica] \ displaystyle dy = \ frac {3r ^ 2 \ sin ^ 3 \ theta} {2 \ sqrt {2 + r ^ 3 \ sin ^ 3 \ theta}} dr \\ [/ math]

[matematica] \ displaystyle \ frac {dy} {\ sin \ theta} = \ frac {3r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {2 \ sqrt {2 + r ^ 3 \ sin ^ 3 \ theta}} dr \ \[/matematica]

Quando [matematica] r = 0, y = \ sqrt {2} [/ matematica]. Quando [matematica] r = 4, y = \ sqrt {2 + 64 \ sin ^ 3 \ theta} [/ math]. Perciò,

[matematica] \ displaystyle I = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_ \ sqrt {2} ^ \ sqrt {{2 + 64 \ sin ^ 3 \ theta}} {\ frac {1} {\ sin \ theta} dyd \ theta} \\ [/ math]

[matematica] \ displaystyle = \ sqrt {2} \ times \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ sqrt {1 + 32 \ sin ^ 3 \ theta} – 1} {\ sin \ theta} d \ theta } \\[/matematica]

(razionalizza il numeratore)

[matematica] \ displaystyle = 32 \ sqrt {2} \ times \ int_0 ^ {2 \ pi} {\ frac {\ sin ^ 2 \ theta} {\ sqrt {1 + 32 \ sin ^ 3 \ theta} + 1} d \ theta} \\ [/ math]

All’inizio, il tuo integrale non è definito nel sistema dei numeri reali. Perché, considera r = 2, theta = 3 * pi / 2 (questo punto è incluso nell’integrando richiesto), quindi, 2 + r ^ 3 * sin ^ 3 (theta) = 2 + 8 * (- 1) = -6 e la sua radice quadrata non è definita nel sistema reale. Ma supponendo che integrand sia correttamente dato per poter definire l’integrale, ti aiuterò come segue: ti darò alcuni suggerimenti sul problema. Dal theroem di fubini, se una funzione è integrabile in qualche area, allora, gli integratori iterativi della funzione per l’area saranno gli stessi per qualsiasi ordinamento di variabili. Si noti che la funzione data è continua sullo spazio (r, theta) e l’area data è compatta (chiusa e limitata) e quindi la funzione è integrabile sull’area. Quindi, possiamo cambiare r e theta per quell’integrale, quindi basta scambiare integrandi per r e theta e dr e dtheta. Quindi, questo commutato richiede che tu ti integri su r e poi theta in sequenza. Quindi, usando il cambiamento della variabile t = 2+ r ^ 3 * sin ^ 3 (theta) (Questo termine è nel denominatore della funzione data), è possibile modificare l’integrale su r in integrale su t. Poiché dt = 3r ^ 2sin ^ 3 (theta) dr (questo corrisponde al numeratore di una determinata funzione all’interno di un integrale), capirai perché questa trasformazione dà una buona cosa. Quindi, otterrai una forma chiusa di integrale su t ma dovresti occuparti anche del cambiamento degli integrandi. (da r = 0 a 4, t = 2 a 2 + 64sin ^ 3 (theta)) Infine, otterrai un singolo integrale su solo theta ma avrai un problema dal momento che questo integrale della forma sqrt (a + bsin ^ 3x) ​​non ha forma integrale indefinita chiusa. Sebbene sia definito su alcuni integrandi speciali, ad esempio da zero a pi, è difficile ottenere la forma chiusa.

Apprezzo questa risposta, ho risolto il problema come lui, ho pensato di scrivere e ho visto qualcun altro rispondere con lo stesso metodo.

Modificando l’ordine di integrazione, in cui i limiti non cambiano (perché sono costanti e non in funzione di r [matematica] r [/ matematica] o θ [matematica] θ [/ matematica]), l’integrale dato diventa

I = ∫40∫2π03r2sin2θ22 + ——— r3sin3θ √dθdr [matematica] I = ∫04∫02π3r2sin2⁡θ22 + r3sin3⁡θdθdr [/ math]

= ∫2π0∫403r2sin2θ22 + ——— r3sin3θ √drdθ [matematica] = ∫02π∫043r2sin2⁡θ22 + r3sin3⁡θdrdθ [/ math]

Sia 2 + r3sin3θ −−−−−−−−− √ = y [matematica] 2 + r3sin3⁡θ = y [/ matematica], in modo che

dy = 3r2sin3θ22 + ——— r3sin3θ √dr [matematica] dy = 3r2sin3⁡θ22 + r3sin3⁡θdr [/ math]

dysinθ = 3r2sin2θ22 + ——— r3sin3θ √dr [matematica] = dysin⁡θ 3r2sin2⁡θ22 + r3sin3⁡θdr [/ math]

Quando r = 0, y = 2 – √ [matematica] r = 0, y = 2 [/ matematica]. Quando r = 4, y = 2 + 64sin3θ −−−−−−−−−−− √ [matematica] r = 4, y = 2 + 64sin3⁡θ [/ math]. Perciò,

I = ∫2π0∫2 + 64sin3θ√2√1sinθdydθ [matematica] I = ∫02π∫22 + 64sin3⁡θ1sin⁡θdydθ [/ math]

= 2 √ × ∫2π01 + ———- 32sin3θ √-1sinθdθ [matematica] = 2 × ∫02π1 + 32sin3⁡θ-1sin⁡θdθ [/ math]

(razionalizza il numeratore)

= 322-√ × ∫2π0sin2θ1 + 32sin3θ ———- + √ 1dθ

Per cominciare, il tuo integrale non è definito nel sistema dei numeri reali. Perché, considera r = 2, theta = 3 * pi / 2 (questo punto è incluso nell’integrando richiesto), quindi, 2 + r ^ 3 * sin ^ 3 (theta) = 2 + 8 * (- 1) = -6 e la sua radice quadrata non è definita nel sistema reale. Ma supponendo che integrand sia correttamente dato per poter definire l’integrale, ti aiuterò come segue.

Ti darò alcuni suggerimenti sul problema. Dal theroem di fubini, se una funzione è integrabile in qualche area, allora, gli integratori iterativi della funzione per l’area saranno gli stessi per qualsiasi ordinamento di variabili. Si noti che la funzione data è continua sullo spazio (r, theta) e l’area data è compatta (chiusa e limitata) e quindi la funzione è integrabile sull’area. Quindi, possiamo cambiare r e theta per quell’integrale.

Quindi basta scambiare integrandi per r e theta e anche dr e dtheta. Quindi, questo commutato richiede di integrare su r e poi theta in sequenza.

Quindi, usando il cambio della variabile t = 2+ r ^ 3 * sin ^ 3 (theta) (Questo termine è nel denominatore della funzione data), è possibile cambiare l’integrale su r in integrale su t. Poiché dt = 3r ^ 2sin ^ 3 (theta) dr (questo corrisponde al numeratore di una determinata funzione all’interno di un integrale), capirai perché questa trasformazione dà una buona cosa. Quindi, otterrai una forma chiusa di integrale su t ma dovresti occuparti anche del cambiamento degli integrandi. (da r = 0 a 4, t = 2 a 2 + 64sin ^ 3 (theta))

Infine, otterrai un singolo integrale solo su theta ma avrai un problema poiché questo integrale della forma sqrt (a + bsin ^ 3x) non ha una forma integrale indefinita chiusa. Sebbene sia definito su alcuni integrandi speciali, ad esempio da zero a pi, è difficile ottenere la forma chiusa. Quindi, voglio dire, fino a qui è il migliore o puoi provare un modo numerico per ottenere un valore approssimativo per integrale. Per chiunque abbia una buona idea, per favore fatemelo sapere. Grazie.

Come altri hanno sottolineato (e che ammetterò di non aver notato fino a quando ho letto le loro risposte), l’integrando non è ben definito (over [math] \ mathbb {R} [/ math]) sull’intero dominio di integrazione (un cerchio di raggio 4 centrato sull’origine), quindi la prima cosa che dobbiamo fare è identificare il sottoinsieme su cui è ben definito:

[matematica] 2 + r ^ 3 \ sin ^ 3 \ theta = 2 + y ^ 3> 0 \ rightarrow y> (-2) ^ {1/3}> -4 [/ math]

quindi il dominio effettivo dell’integrazione è quella parte del cerchio (descritta sopra) per la quale

[matematica] y> (-2) ^ {1/3} [/ matematica]

(la regione a doppia ombra in basso):

Ora abbiamo una scelta: possiamo convertire in coordinate rettilinee e integrare, diciamo, da [matematica] x = 0 [/ matematica] a [matematica] \ sqrt {16-y ^ 2} [/ matematica], separatamente da [matematica ] y = -2 ^ {1/3} [/ matematica] a [matematica] 0 [/ matematica] e da [matematica] y = 0 [/ matematica] a [matematica] 4 [/ matematica], quindi moltiplica il risultato per due … ma ciò richiederebbe prima di tutto moltiplicare e dividere l’integrando per [matematica] r [/ matematica] per ottenere l’elemento area corretta, [matematica] rdrd \ theta [/ matematica], per la conversione nell’elemento area rettilinea, [matematica] dxdy [/ matematica], introducendo un’ulteriore significativa complicazione nell’integrando; oppure possiamo capire l’angolo (i) in cui la linea e il cerchio si intersecano, limitare l’integrazione dell’angolo a quell’intervallo e aggiungere l’integrazione sul triangolo che omette (possiamo farlo per la metà destra e quindi moltiplicare questo di due, per un aumento marginale della trattabilità).

Naturalmente, l’integrando “esplode” mentre si avvicina [matematica] y = -2 ^ {1/3} [/ matematica], quindi non c’è garanzia che questo sia anche un integrale convergente (in effetti, credo che le possibilità siano contro esso, poiché il “grado effettivo” in [matematica] y [/ matematica] è [matematica] y ^ 2 / y ^ {3/2} = y ^ {1/2} [/ matematica] e dovremmo cercare un grado effettivo inferiore a [matematica] -1 [/ matematica] per sperare in una convergenza; in effetti, questa osservazione potrebbe essere tutto ciò di cui abbiamo bisogno per concludere che è divergente, ma francamente, non ne sono sicuro). Tuttavia, questa osservazione suggerisce che valutiamo prima la parte potenzialmente divergente dell’integrale, poiché se quella parte è divergente, non è necessario valutare l’altra parte.

In ogni caso, questo non è “facile”: il mio primo istinto è quello di “puntare” e provare un sistema di algebra del computer, ma non ne ho uno e sono agganciato, quindi finirò fuori (in coordinate polari); nel frattempo, ecco la superficie, il volume sotto il quale cerchiamo di trovare:

Integra l’equazione rispetto all’angelo tra 0 e 2π (prendi l’angolo in radianti), questo eliminerà uno degli aspetti sconosciuti. Quindi integra la nuova equazione rispetto a r tra 0 e 4. Ciò avrà cancellato tutti i valori sconosciuti e dovrebbe darti una risposta.

Se sbaglio, per favore correggimi, vorrei saperne di più su quest’area della matematica.

L’integrale finale non converge. Speriamo che questo aiuti in qualche modo.

È possibile cambiare l’ordine di integrazione per iniziare con l’integrazione rispetto a r.

Quindi puoi fare una sostituzione [matematica] u = 2 + r ^ 3 sin ^ 3 \ theta [/ matematica]. Ciò ti consentirà di ridurre la domanda a un integrale over theta. Puoi provarlo e vedere se questo ti porta da qualche parte. Potrebbero esserci ancora dei problemi in seguito.

Modificando l’ordine di integrazione (i limiti non cambieranno a causa della costante e non in funzione di r [matematica] r [/ matematica] o θ).

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