Come posso dimostrare che [matematica] \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ frac {1- \ cos (\ theta)} {\ theta} = 0 [/ math]?

Se davvero non riesci a risolverlo, penso che devi controllare la regola di L’Hôpital – Wikipedia

In breve, si differenzia il nominatore e il denominatore, quindi si sostituisce con [matematica] \ theta = 0 [/ matematica] per ottenere il risultato di [matematica] 0 [/ matematica]

Ma assicurati di controllare l’argomento in modo da poter risolvere qualsiasi limite della stessa categoria

Modifica solo per divertimento, ecco come appare

Quindi la funzione si avvicina davvero a 0 mentre [math] \ theta [/ math] si avvicina a 0

Modifica 2

Risulta che il limite non è poi così difficile .. può essere fatto algebricamente

Usando il fatto che [matematica] \ cos x = 1 – 2 \ sin ^ 2 \ frac {x} {2} [/ math] possiamo manipolare il limite ..

[matematica] \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ frac {1- \ cos \ theta} {\ theta} = \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ frac {2 \ sin ^ 2 \ frac {\ theta} {2}} {\ theta} \\ = \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} \ sin \ frac {\ theta} {2} × \ frac {\ sin \ frac {\ theta} {2}} {\ frac {\ theta} {2}} = 0 × 1 = 0 [/ math]

Quindi qui, può ancora essere fatto senza la regola di L’hôpital, con la vecchia bella manipolazione ^ _ ^

Darò una prova diversa in base a ciò che gli altri hanno dato. Gli altri hanno usato formule a mezzo angolo, il che va bene, ma voglio dare qualcosa di più semplice. Quindi, il limite che vogliamo risolvere è;

Ora, chiaramente, se moltiplico il lato destro per uno, il limite non cambierà. Lo farò in modo intelligente;

Ora, se lo espanderò, lo sarà;

Ora, vedi che posso effettivamente separare la funzione tra parentesi e scriverla come il prodotto di due diversi limiti “facili”? Lo farò come segue;

Il primo limite, nel prodotto, è solo 1. Il secondo limite nel prodotto è 0/2 = 0. Pertanto, lo concludiamo;

L = 0

Ciò dimostra la proposta.

Saluti 🙂

Ci sono molte risposte eccellenti qui, ma vorrei aggiungerne un’altra. Non so se questa è una prova ma penso che sia interessante.

L’espansione di Taylor per il coseno è

[matematica] \ cos θ = 1- \ dfrac {θ ^ 2} {2} + \ dfrac {θ ^ 4} {4!} – \ dfrac {θ ^ 6} {6!} +… [/ math]

Puoi collegarlo al limite per ottenere

[matematica] \ dfrac {1- \ Big (1- \ frac {θ ^ 2} {2} + \ frac {θ ^ 4} {4!} -… \ Big)} {θ} [/ math].

Gli 1 si annullano e tutti i termini rimanenti contengono un theta in modo da poter annullare un potere di theta anche per tutti i termini rimanenti. Questo ti lascia con.

[Matematica] \ dfrac {θ} {2} – {! 6} \ dfrac {θ ^ 3} {! 4} + \ dfrac {θ ^ 5} … [/ math]

Nel limite che theta va a zero anche questa somma va a zero!

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