Come mostrare che il momento lineare non è quantizzato

Proprio come tutti gli altri osservabili nella meccanica quantistica, il momento lineare è un operatore spaziale Hilbert autoaggiunto. Le misurazioni degli osservabili producono autovalori dell’operatore quando lo spettro dell’operatore ha uno spettro puntuale (spesso chiamato spettro discreto in fisica). Tuttavia alcuni osservabili hanno solo uno spettro continuo. Prendendo, per semplicità, la meccanica quantistica non relativistica di una particella in una dimensione spaziale nel quadro di Schrodinger, supporrò che l’intento della tua domanda è perché l’operatore di momento lineare non ha uno spettro di punti. La realizzazione dello spazio di Hilbert sarà [matematica] L ^ {2} (\ mathbb {R}) [/ matematica], lo spazio di complesse funzioni valutate di una variabile reale il cui modulo quadrato è Lebesgue integrabile su [matematica] \ mathbb { R} [/ math]. L’operatore di momento lineare è

[matematica] \ widehat {p} = – i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x}. [/ math]

Supponiamo che l’operatore di momento lineare abbia uno spettro di punti e denoti i suoi autovalori di [matematica] p [/ matematica]. Lascia che [matematica] \ psi [/ matematica] sia un autovettore corrispondente a [matematica] p [/ matematica]. L’equazione dell’autovalore è

[matematica] \ widehat {p} \ psi = p \ psi, [/ math]

oppure [matematica] -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ psi (x, t) = p \ psi (x, t). [/ math]

Una soluzione è [matematica] \ psi (x, t) = Ce ^ {\ frac {i} {\ hbar} (px-Et)} [/ math],

che è la funzione d’onda per una particella libera di momento lineare [matematica] p [/ matematica] ed energia [matematica] E [/ matematica]. Questa funzione d’onda non si trova nello spazio di Hilbert, perché non soddisfa la condizione

[matematica] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {\ ast} (x, t) \ psi (x, t) dx <\ infty [/ math] richiesto per [matematica] L ^ { 2} (\ mathbb {R}) [/ math].

Ciò contraddice il presupposto che l’operatore di momento lineare abbia una porzione del suo spettro che è uno spettro di punti. Di conseguenza, lo spettro dell’operatore di momento lineare è continuo, non “discreto”.

In verità non esiste qualcosa come il momento lineare solo il momento angolare, sì lo usiamo per spiegazioni funzionali e utilitarie, ma in realtà non esiste una linea retta nell’intero universo. Anche la linea più diritta è sostanzialmente una porzione più piccola di un cerchio più grande, quindi non è possibile quantizzare qualcosa che sostanzialmente non esiste realmente. Tutto il momento è solo angolare.

Per quanto ne so, il momento lineare non è una proprietà di stato legata come il momento angolare. I principali numeri quantici (n, l, m, m-sub-s) sono correlati alla soluzione di un’armonica sferica nell’equazione di Heisenberg allo stato legato. Nessuno di questi è direttamente correlato al momento lineare.

Ora, se provi a definire il momento lineare di uno stato legato in termini di velocità, questo è legato alla sua energia cinetica, che si aggroviglia con livelli di energia quantizzati. Ma per una particella nello spazio libero, mi aspetto che il momento lineare sia quantizzato solo se anche la distanza e il tempo sono quantizzati (cosa che potrebbe benissimo essere).

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