Qual è l’integrale di log (cos x) + 1?

* A2A

Non c’è limite all’integrale, quindi devo farlo con il solito metodo.

[matematica] \ begin {align} I & = \ int \ ln (\ cos x) +1 \ space \ mathrm dx \\ & = x + \ int \ ln \ left (\ dfrac {e ^ {ix} + e ^ { -ix}} 2 \ right) \ space \ mathrm dx \\ & = x + \ int \ ln (e ^ {2ix} +1) – \ ln (2e ^ {ix}) \ space \ mathrm dx \\ & = x + \ int \ ln (e ^ {2ix} +1) \ space \ mathrm dx- \ int \ ln 2 \ space \ mathrm dx- \ int \ ln (e ^ {ix}) \ space \ mathrm dx \\ & = xx \ ln 2- \ int ix \ space \ mathrm dx + \ int \ ln (e ^ {2ix} +1) \ space \ mathrm dx \\ & = (1- \ ln2) x- \ dfrac12ix ^ 2 + \ int \ ln (e ^ {2ix} +1) \ space \ mathrm dx \\\ hline & \ text {Let} v = -e ^ {2ix} \ implica \ mathrm dv = -2ie ^ {2ix} \ space \ mathrm dx \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ sottintende \ mathrm dx = \ dfrac {\ mathrm dv} {- 2ie ^ {2ix}} = \ dfrac {\ mathrm dv} {2iv} = – \ dfrac {i \ space \ mathrm dv} {v} \\\ hline & = (1- \ ln2) x- \ dfrac12ix ^ 2-i \ int \ dfrac {\ ln (1-v)} v \ mathrm dv \\ & = (1- \ ln 2) x- \ dfrac12ix ^ 2 + i \ mathrm {Li} _2 (v) + C \\ & = (1- \ ln2) x- \ dfrac12ix ^ 2 + i \ mathrm {Li} _2 (-e ^ {} 2ix) + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

dove [matematica] \ matematica {Li} _2 (x) [/ matematica] è il dilogaritmo o la funzione di Spence

Oh, a proposito, se provi ad abbinare la mia risposta a Wolfram, non puoi, perché per ottenere ciò dovrai iniziare con l’integrazione per parti.


Si noti che per un limite appropriato [matematica] x \ in \ left [- \ dfrac \ pi2, \ dfrac \ pi2 \ right] [/ math]

[matematica] \ begin {align} \ int _ {- \ frac \ pi2} ^ {\ frac \ pi2} \ ln (\ cos x) +1 \ space \ mathrm dx & = \ pi (1- \ ln 2) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

ma per questo dovrai considerare solo la parte reale del risultato integrale sopra.